ALGEBRA: mayo 2009

Límites

[Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite es, a no dudarlo, el más importante, y quizás el más difícil... lo que vamos a definir no es la palabra 'límite', sino la noción de función que tiende hacia un límite. (Spivak, 99)]

[el análisis matemático moderno utiliza un método especial, que fue elaborado en el transcurso de muchos siglos, y constituye ahora su instrumento básico. Nos referimos al método de los infinitésimos o, lo que en esencia es lo mismo, de los límites. (Aleksandrov, 1, 108)]

Definición provisional

[La función f tiende hacia el límite l cerca de a, si se puede hacer que f (x) esté tan cerca como queramos de l haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a... solamente hace falta que f (x) esté próximo a l cuando x está próximo a a pero es distinto de a. Sencillamente no nos interesa el valor de f (a) ni siquiera la cuestión de si f (a)está definido. (Spivak, 99)]

Definición

[La función f tiende hacia el límite l en a significa: para todo e > 0 existe algún d > 0 tal que, para todo x, si , entonces .

Esta función es tan importante (todo lo que emprendamos a partir de ahora va a depender de ella) que sería en vano pasar adelante sin saberla. ¡Apréndala el lector de memoria si es necesario, como si fuese un poema! (Spivak, 110)]

[El número l al que tiende f cerca de a se designa por (léase: el límite de f (x) cuando x tienda hacia a)... La ecuación

tiene exactamente el mismo significado que la frase

f tiende hacia l en a.

(Spivak, 114)]

Teoremas sobre limites

[I.	Si f (x) = c, constante, tendremos:
	Si y , resulta:
II.	, siendo k una constante.
III.
IV.
V.
VI.	, siempre que sea un número real. (Ayres, 10)]

Funciones continuas

[Intuitivamente, una función f es continua si su gráfica no contiene interrupciones, ni saltos ni oscilaciones indefinidas. Aunque esta descripción es, por lo general, suficiente para decidir si una función es continua observando simplemente su gráfica, es fácil engañarse, y la definición rigurosa es muy importante. (Spivak, 132)]

[Las funciones continuas constituyen la clase básica de funciones para las operaciones del análisis matemático. La idea general de función continua viene a ser la de que su gráfica sea continua; esto es, que la curva pueda dibujarse sin separar el lápiz del papel. (Aleksandrov, 1, 117)]

Intervalos finitos

[Sean a y b dos números tales que a <>. El conjunto de todos los números x comprendidos entre a y b recibe el nombre de intervalo abierto de a a b y se escribe a <>. Los puntos a y b reciben el nombre de extremos del intervalo. Un intervalo abierto no contiene a sus extremos.

El intervalo abierto a <> junto con sus extremos a y b recibe el nombre de intervalo cerrado de a a b y se escribe a £ x £ b.
Sea a un número cualquiera. El conjunto de todos los números x tales que x <> recibe el nombre de intervalo infinito. Otros intervalos infinitos son los definidos por x £ a, x > a y x ³a. (Ayres, 2)]
Definición de función continua
[La función f es continua en a si
.
(Spivak, 132)]
[Una función se dice continua en un intervalo dado si es continua en todo punto x de este intervalo...
Así, para dar una definición matemática de esa propiedad de las funciones que viene caracterizada por el hecho de que su gráfica sea continua (en el sentido usual de la palabra), fue necesario definir primero la continuidad local (continuidad en el punto a), y luego, a partir de ella, definir la continuidad de la función en todo el intervalo.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

$ax^2 + bx + c = 0\,$

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en $x^n\,$ es de la forma:

$ax^{2n}+bx^n+c=0 \,$

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.

La ecuación cuadrática es de vital importancia en matemáticas aplicadas, física e ingeniería, puesto que se aplica en la solución de gran cantidad de problemas técnicos y cotidianos.

Clasificación

La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:

1.- Completa: Tiene la forma canónica:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.

Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante

$\Delta = b^2 - 4ac \,$

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.

2.- Incompleta pura: Es de la forma:

$ax^2 + c = 0 \,$

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y ctienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:

$ax^2 = 0 \,$

con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0

3.- Incompleta mixta: Es de la forma:

$ax^2 + bx = 0 \,$

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números complejos.

Solución general de la ecuación de segundo grado. La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$ ,

donde el símbolo "±" indica que los dos valores

$x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

$\ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula celebérrima tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.

Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):

$b^2 - 4ac \,$

podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);
Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se intersectan).

Deducción de la fórmula general

Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.

Sea dada la ecuación:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

donde $a \neq 0$ para garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.

Como a es distinto de cero, podemos dividir entre a cada término de la ecuación:

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad:

$x^2 + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}$

Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal, por lo que sumamos $\left(\frac{b}{2a} \right)^2$ en ambos miembros de la ecuación:

$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a} \right)^2 = \left(\frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}$

Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho:

$\left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$

Hacemos la operación con fracciones en el miembro derecho:

$\left(x + \frac{b}{2a} \right )^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Extraemos raiz cuadrada en ambos miembros:

$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt { \frac{b^2-4ac}{4a^2} }$

Separamos las raíces de la fracción del lado derecho:

$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ \sqrt{(2a)^2} }$

Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho:

$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }$

Despejamos la incógnita que buscamos:

$x = - \frac{b}{2a} \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }$

Combinamos las fracciones con el mismo denominador del lado derecho y obtenemos la fórmula general:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }$

Es trivial el orden en que se toman los valores de x; algunos autores prefieren colocar en primer término el valor menor de x, es decir, aquél en el cual va el signo negativo antes del radical. Antes de aplicar indiscriminadamente la fórmula general en la solución de ecuaciones de segundo grado particulares, se sugiere resolver cada ecuación empleando todos los pasos de la deducción cada vez para tener dominio del método de completar el cuadrado.

Teorema de Cardano-Viète

Para toda ecuación cuadrática de la forma:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

de raíces $x_1 , x_2 \,$ se cumplen los siguientes dos aspectos:

Suma de raíces: $x_1 + x_2 = - \frac{ b }{ a } \,$

Demostración:

Partiendo del uso de la fórmula resolvente

$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } \,$

Sumamos los numeradores, por ello las raíces desaparecen al ser opuestas

$x_1 + x_2 = \frac{-2 b }{ 2a } \,$

Simplificando nos queda

$x_1 + x_2 = - \frac{ b }{ a } \,$

Producto de raíces: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,$

Demostración:

Partiendo del uso de la fórmula resolvente

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } \,$

Realizando la multiplicación, por medio del producto de binomios conjugados en el numerador:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2 }{ (2 a)^2 } \,$

Resolviendo las potencias nos queda:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac) }{ 4 a^2 } \,$

Distribuyo el menos y sumo en el numerador

$x_1 \cdot x_2 = \frac{ 4ac }{ 4 a^2 } \,$

Simplificando nos queda:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{ c }{ a } \,$

Además se puede hacer uso de la identidad de Legendre para obtener la diferencia de raíces.

$(x_1+x_2)^2-(x_1-x_2)^2=4(x_1 \cdot x_2) \,$

Solución mediante cambio de variable .Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (y también de tercer y cuarto grado) es aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo $a x^2 + b x + c = 0 \,$ , el cambio de variable necesario es del tipo $x = t + n \,$ .
Aplicando el cambio de variable anterior, obtenemos la ecuación $a (t+n)^2 + b (t+n) +c = 0 \,$
y desarrollándola queda $a t^2 + (2 a n + b) t + a n^2 + b n +c = 0 \,$ (1).
Ahora debemos reducir la ecuación obtenida a un caso conocido que sepamos resolver. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo $x^2 = K \,$ se resuelven de forma directa extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos y cuya solución general es del tipo $x = \pm \sqrt {K} \,$ .
Para poder transformar nuestra ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero, debemos forzar a que $2 a n + b = 0 \,$ , es decir $n = -\frac {b} {2 a} \,$
Sustituyendo en (1) queda $a t^2 -\frac {b^2} {4 a} + c =0 \,$ . (2)
Esta nueva ecuación está en la forma $t^2 = K \,$ que era lo que pretendíamos lograr con el cambio de variable, y que, como ya se ha dicho, tiene una solución inmediata del tipo $t = \pm \sqrt {K} \,$
Por tanto, despejando la variable $t \,$ en la ecuación (2), queda $t = \pm \frac { \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$
Dado que $x = t + n \,$ , y que $n = -\frac {b} {2 a} \,$ , obtenemos la solución de la ecuación original con variable en $x \,$ , que es
$x = -\frac {b} {2 a} \ \pm \frac {\sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$
El artificio de esta demostración, consiste, por tanto, en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.