LIMITES

Límites

[Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite es, a no dudarlo, el más importante, y quizás el más difícil... lo que vamos a definir no es la palabra 'límite', sino la noción de función que tiende hacia un límite. (Spivak, 99)]

[el análisis matemático moderno utiliza un método especial, que fue elaborado en el transcurso de muchos siglos, y constituye ahora su instrumento básico. Nos referimos al método de los infinitésimos o, lo que en esencia es lo mismo, de los límites. (Aleksandrov, 1, 108)]

Definición provisional

[La función f  tiende hacia el límite l cerca de a, si se puede hacer que f (x) esté tan cerca como queramos de l haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a... solamente hace falta que f (x) esté próximo a l cuando x está próximo a a pero es distinto de a. Sencillamente no nos interesa el valor de f (a) ni siquiera la cuestión de si f (a)está definido. (Spivak, 99)]

Definición

[La función f  tiende hacia el límite l en a significa: para todo e > 0 existe algún d > 0 tal que, para todo x, si , entonces .

Esta función es tan importante (todo lo que emprendamos a partir de ahora va a depender de ella) que sería en vano pasar adelante sin saberla. ¡Apréndala el lector de memoria si es necesario, como si fuese un poema! (Spivak, 110)]

[El número l al que tiende f cerca de a se designa por  (léase: el límite de f (x) cuando x tienda hacia a)... La ecuación

tiene exactamente el mismo significado que la frase

f  tiende hacia l en a.

(Spivak, 114)]

Teoremas sobre limites

[I.	Si f (x) = c, constante, tendremos:
	Si  y  , resulta:
II.	, siendo k una constante.
III.
IV.
V.
VI.	, siempre que  sea un número real. (Ayres, 10)]

Funciones continuas

[Intuitivamente, una función f es continua si su gráfica no contiene interrupciones, ni saltos ni oscilaciones indefinidas. Aunque esta descripción es, por lo general, suficiente para decidir si una función es continua observando simplemente su gráfica, es fácil engañarse, y la definición rigurosa es muy importante. (Spivak, 132)]

[Las funciones continuas constituyen la clase básica de funciones para las operaciones del análisis matemático. La idea general de función continua viene a ser la de que su gráfica sea continua; esto es, que la curva pueda dibujarse sin separar el lápiz del papel. (Aleksandrov, 1, 117)]

Intervalos finitos

[Sean a y b dos números tales que a <>. El conjunto de todos los números x comprendidos entre a y b recibe el nombre de intervalo abierto de a a b y se escribe a <>. Los puntos a y b reciben el nombre de extremos del intervalo. Un intervalo abierto no contiene a sus extremos.

El intervalo abierto a <> junto con sus extremos a y b recibe el nombre de intervalo cerrado de a a b y se escribe a £ x £ b.

Sea a un número cualquiera. El conjunto de todos los números x tales que x <> recibe el nombre de intervalo infinito. Otros intervalos infinitos son los definidos por x £ a, x > a y x ³a. (Ayres, 2)]

Definición de función continua

[La función f es continua en a si

.

(Spivak, 132)]

[Una función se dice continua en un intervalo dado si es continua en todo punto x de este intervalo...

Así, para dar una definición matemática de esa propiedad de las funciones que viene caracterizada por el hecho de que su gráfica sea continua (en el sentido usual de la palabra), fue necesario definir primero la continuidad local (continuidad en el punto a), y luego, a partir de ella, definir la continuidad de la función en todo el intervalo.